13.5) Um caminhão transporta um caixote de $200kg$ a $90Km/h$ numa estrada horizontal. Avistando um obstaculo, o motorista freia com desaceleração de $2,5m/s^2$ até parar. O caixote, em consequência da freada, desliza pela traseira do caminhão com coeficiente de atrito $0,25$. (a) Qual é a velocidade do caixote no instante em que o caminhão para? (b) A que distância de sua posição inicial na traseira do caminhão o caixote se encontra, quando para de deslizar?
a) Adotando o referencial na traseira do caminhão onde o bloco encontra-se inicialmente em repouso,
O bloco sente uma força de inercial $\vec{F}_i$ devido à desaceleração $\vec{a}'$ do caminhão e no processo é acelerado para frente, com aceleração $\vec{a}$, usando a segunda lei de Newton obtemos as equações que descrevem o movimento do bloco,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
N-P=0\ \ \ \ \ \ \ (1)\\
F_i-F_a=ma\ \ \ \ (2)\\
\end{array}\right. $$
pela equação (2) e (2) obtemos, a seguinte relação,
$$F_i-F_a=ma\Rightarrow$$
$$ma'-mg\mu_c=ma\Rightarrow$$
$$a=a'-g\mu_c\ \ \ \ (3)$$
Como o movimento é em velocidade uniformemente variada a velocidade do caminhão varia segundo,
$$v_c=v_0-a't$$
quando o caminhão para $v_c=0$ logo,
$$0=v_0-a't_b\Rightarrow$$
$$t_b=\frac{v_0}{a'}\ \ \ \ \ (4)$$
por outro lado, a velocidade do bloco é inicialmente nula e cresce uniformemente segundo (3),
$$v_b=at\Rightarrow$$
$$v_b=\left( a'-g\mu_c\right) t\Rightarrow$$
como queremos a velocidade $v_b$ no instante em que o caminhão parar devemos usar o tempo (4),
$$v_b=\left( a'-g\mu_c\right) \frac{v_0}{a'}\ \ \ \ (4)$$
b) Para determinar a distância que o bloco percorre até o bloco parar devemos separar o problema em duas partes, devemos calcular $\Delta x_1$, que é a distância que o bloco percorre até o camião parar, sendo esse um movimento uniformemente acelerado, e $\Delta x_2$, que é a distância que o bloco percorre depois que o camião para, até que o bloco pare, sendo esse um movimento uniformemente retardado,
na primeira parte o bloco tem aceleração dada por (3), usando a equação do movimento obtemos,
$$\Delta x_1=\frac{1}{2}\left( a'-g\mu_c\right) t_b\ \ \ \ (5)$$
aplicando o intervalo de tempo dado pela equação (4), sendo essa o tempo que o caminhão demora para parar,
$$\Delta x_1=\frac{1}{2}\left( a'-g\mu_c\right) \frac{v_0}{a'}\ \ \ \ (6)$$
Para calcular $\Delta x_2$, podemos considerar o tempo $t_c$ que o bloco demora para ir da velocidade $v_b$ atá o repouso, sabendo que a desaceleração do bloco depois que o camião para é $a_c=-g\mu_c$,
$$v=v_0+at\Rightarrow$$
$$0=v_b-g\mu_ct_c\Rightarrow$$
$$t_c=\frac{v_b}{g\mu_c}\ \ \ (7)$$
usando a mesma aceleração e tempo na equação do espaço percorrido,
$$\Delta x_2=\frac{1}{2}at^2\Rightarrow$$
$$\Delta x_2=\frac{1}{2}g\mu_c\left( \frac{v_b}{g\mu_c}\right)^2\Rightarrow$$
$$\Delta x_2= \frac{v_b^2}{2g\mu_c}\ \ \ (8)$$
Como o deslocamento total é dado pela soma de (8) e (6) teremos,
$$\Delta x=\Delta x_1+\Delta x_2\Rightarrow$$
$$\Delta x=\frac{1}{2}\left( a'-g\mu_c\right) \frac{v_0}{a'}+\frac{v_b^2}{2g\mu_c}$$
Substituindo os valores do problema,
$$\Delta x=2,55m$$
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