Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 7.3

7.3) Dois vetores $\vec{a}$ e $\vec{b}$ são tais que $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$. Qual é o ângulo entre $\vec{a}$ e $\vec{b}$?

 O produto interno no espaço euclidiano tem a seguinte propriedade, $$|\vec{a}+\vec{b}|^2=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})=a^2+b^2+2\vec{b}\cdot\vec{a}$$ Por outro lado, $$|\vec{a}-\vec{b}|^2=(\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})=a^2+b^2-2\vec{b}\cdot\vec{a}$$ Como $$|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|\Rightarrow|\vec{a}-\vec{b}|^2=|\vec{a}+\vec{b}|^2$$ Por conseguinte, $$a^2+b^2+2\vec{b}\cdot\vec{a}=a^2+b^2-2\vec{b}\cdot\vec{a}\Rightarrow$$ $$2\vec{b}\cdot\vec{a}=-2\vec{b}\cdot\vec{a}\Rightarrow$$ $$\vec{b}\cdot\vec{a}=0$$ Podemos reescrever o produto interno como, $$\vec{b}\cdot\vec{a}=ab\cos\theta=0$$ Onde $\theta$ é o angulo entre os dois vetores, logo $$ab\cos\theta=0\Rightarrow$$ $$\cos\theta=0\Rightarrow$$ $$\theta=\arccos(0)\Rightarrow$$ $$\theta=\frac{\pi}{2}\pm \pi k ,\ k\in \mathbb{N}$$