7.4) Calcule o ângulo entre duas diagonais internas (que passam por dentro) de um cubo, utilizando o
produto escalar de vetores.
Podemos construir um cubo com três vetores de mesmo modulo e ortogonais entre si $|\vec{u}|=|\vec{v}|=|\vec{w}|=a$,
As diagonais do cubo são os vetores $\vec{v}-\vec{u}+\vec{w}$ e $\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}$, o angulo os dois vetores é dado pela expressão,
$$\cos\theta=\frac{\left( \vec{v}-\vec{u}+\vec{w}\right)\cdot\left( \vec{v}+\vec{u}+\vec{w}\right) }{| \vec{v}-\vec{u}+\vec{w}||\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}| }$$
Podemos desenvolver a expressão e obter,
$$\cos\theta=\frac{\vec{v}\cdot\vec{v}-\vec{u}\cdot\vec{u}+\vec{w}\cdot\vec{w}}
{|\vec{v}-\vec{u}+\vec{w}||\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}| }\ \ \ \ \ (1)$$
Podemos descobrir o modulo dos vetores $\vec{v}-\vec{u}+\vec{w}$ e $\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}$ olhando para os vetores, $\vec{u}+\vec{v}$ e $\vec{u}-\vec{v}$,
Como $\vec{v}+\vec{u}$ e $\vec{v}-\vec{u}$ são diagonais da base do cubo, que é um quadrado, ambos tem modulo $|\vec{v}+\vec{u}|=|\vec{v}-\vec{u}|=a\sqrt{2}$, logo o modulo das diagonais são dados por,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
|\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}|^2=|\vec{v}+\vec{u}|^2+|\vec{w}|^2\\
|\vec{v}-\vec{u}+\vec{w}|^2=|\vec{v}-\vec{u}|^2+|\vec{w}|^2\\
\end{array}\right. $$
Ou seja,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
|\vec{v}+\vec{u}+\vec{w}|=\sqrt{2a^2+a^2}\\
|\vec{v}-\vec{u}+\vec{w}|=\sqrt{2a^2+a^2}\\
\end{array}\right. $$
Substituindo os valores em (1) obtemos,
$$\cos\theta=\frac{|\vec{v}|^2-|\vec{u}|^2+|\vec{w}|^2}
{2a^2+a^2}\Rightarrow$$
$$\cos\theta=\frac{a^2-a^2+a^2}
{3a^2}\Rightarrow$$
$$\cos\theta=\frac{a^2}
{3a^2}\Rightarrow$$
$$\cos\theta=\frac{1}
{3}\Rightarrow$$
$$\theta=\arccos\left( \frac{1}
{3}\right)\Rightarrow$$
$$\theta=\left( 70,5\right)° $$
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