6.12) Um carrinho desliza do alto de uma montanha-russa de $5m$ de altura, com atrito desprezível.
Chegando ao ponto A, no sopé da montanha, ele é freiado pelo terreno $AB$ coberto de areia (veja a Fig.), parando em $1,25 s$. Qual é o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia?
Podemos adotar o referencial na base da montanha com o eixo $oy$ positivo para cima e $ox$ na horizontal,
Partindo de uma altura $h$ o carinho transforma toda sua energia potencial em cinética, no ponto $A$ o carrinho tem energia cinética dada por $v_0$, logo,
$$E_i=E_f\Rightarrow$$
$$mgh=\frac{1}{2}mv_0^2$$
Explicitando $v_0$ obtemos,
$$v_0=\sqrt{2gh}\ \ \ \ (1)$$
Note que logo apos de chegar no ponto A e percorrer a distância $x_0=\overline{AB}$, o carinho fica sujeito a uma força dissipativa de atrito $f_a$, como o carinho desacelera de $v_0$ ate zero em uma distância $x_0$, logo,
$$v_f^2=v_i^2+2ax_0\Rightarrow$$
$$0=v_0^2+2a_bx_0$$
Explicitando $a$ obtemos,
$$a_b=-\frac{v_0^2}{2x_0}\ \ \ \ (2)$$
Adotando o referencial com eixo $ox$ sobre a horizontal e com origem em $A$. A equação que descreve o movimento uniformemente retardado é,
$$S=S_0+v_it+\frac{1}{2}at^2\Rightarrow$$
Derivando a equação encontramos a velocidade,
$$v=v_i+at\Rightarrow$$
$$0=v_0+a_bt_b$$
Aplicando as equações (1) e (2) obtemos,
$$0=\sqrt{2gh}-\frac{v_0^2}{2x_0}t_b\Rightarrow$$
$$x_0=\frac{v_0^2t_b}{2\sqrt{2gh}}$$
Substituindo (3) em (2) obtemos,
$$a_b=-\frac{\sqrt{2gh}}{t_b}\ \ \ \ \ (3)$$
A força de atrito que atua sobre o corpo é dada por,
$$-f_a=-N\mu_c=-P\mu_c=-mg\mu_c\Rightarrow$$
Pela segunda lei de Newton obtemos,
$$ma_b=-mg\mu_c$$
Aplicando a equação (3) na expressão obtemos,
$$-m\frac{\sqrt{2gh}}{t_b}=-mg\mu_c$$
Explicitando $\mu_c$,
$$\mu_c=\frac{\sqrt{2gh}}{gt_b}$$
Substituindo os valores do problema,
$$\mu_c=0,81$$
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