6.11) Uma partícula de massa m move-se em uma dimensão com energia potencial $U(x)$ representada
pela curva da Fig. (as beiradas abruptas são idealizações de um potencial rapidamente variável). Inicialmente, a
partícula está dentro do poço de potencial (região entre $x_1$ e $x_2$ ) com energia E tal que $V_0 \geqslant E\geqslant V_1$. Mostre que o movimento subsequente será periódico e calcule o período.
Dentro do vale potencial a partícula tem energia dada por,
$$E=\frac{1}{2}mv^2+V_0$$
Isolando a velocidade obtemos,
$$v=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V_0 \right) }$$
O sinal está relacionado a uma abrupta mudança de direção da partícula, lembrando que a velocidade é a derivada da posição $x$ no tempo, logo,
$$\frac{dx}{dt}=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V_0 \right) }$$
Em termos de diferencial obtemos,
$$dx=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V_0 \right) }dt$$
Integrando os dois lados da igualdade obtemos a posição da partícula,
$$x=\pm\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V_0 \right) }t$$
Como a partícula está em um potencial $V_0$, para ir para um potencial mais elevado a partícula precisa realizar um trabalho para chegar ate o potencial $V_1$ e poder sair do vale de potencial, como isso não acontece ela ficara confinada e oscilando no potencial indefinidamente, ou até que ela realize um trabalho que a leve para um potencial igual, ou superior a $V_1$. Para calcula o período basta calcular qual é o tempo necessário para a particular percorrer a distância l duas vezes, isto é,
$$2l=vt_p\Rightarrow$$
$$t_p=\frac{2l}{v}\Rightarrow$$
$$t_p=\frac{2l}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V_0 \right) }}$$
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