8.11) Ache as coordenadas do $CM$ (centro de massa) da placa homogênea $OABCD$ indicada na figura, dividindo-a em três triângulos iguais. (b) Mostre que se obtém o mesmo resultado calculando o CM do sistema formado pelo quadrado $OABD$ e pelo triângulo $BCD$ que dele foi removido, atribuindo massa negativa ao triângulo.
a) O centro de massa de um triangulo está a um terço do caminho entre a base e seu vértice de uma de suas mediatrizes, logo supondo um quadrado de lado $l$ podemos dividir nos três triângulos da figura e representar o centro de massa pelos vetores $\vec{r}_1$, $\vec{r}_2$ e $\vec{r}_3$,
Os vetores posição de cada centro de massa é dado por,
$$\left\lbrace \begin{array}{lll}
\vec{r}_1=\left(\frac{1}{3}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\\
\vec{r}_2=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\frac{1}{2}\right)\\
\vec{r}_3=\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\\
\end{array}\right. $$
Supondo que a massa da placa é uniforme o centro de massa $\vec{C}_m$ é dado por,
$$\vec{C}_m=\frac{1}{3m}\left[m\left(\frac{1}{3}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)+m\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\frac{1}{2}\right)+m\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right]\Rightarrow $$
$$\vec{C}_m=\left(\frac{1}{2},\frac{7}{18}\right)l $$
b) Considerando o quadrado menos o triangulo como indicado a seguir,
Os centros de massa das receptivas figuras são dados pelos vetores $\vec{r}_1$ e $\vec{r}_2$,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{r}_2=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)l\\
\vec{r}_1=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\frac{1}{2}\right)l\\
\end{array}\right. $$
Logo o centro da mesma figura da questão (a) será,
$$\vec{C}_m=\frac{1}{4m-m}4m\left( \frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)l-\frac{1}{4m-m}m\left( \frac{1}{2},\frac{5}{6}\right)l \Rightarrow$$
$$\vec{C}_m=\left(\frac{1}{2},\frac{7}{18}\right)l $$
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