8.4) Uma patinadora e um patinador estão se aproximando um do outro, deslizando com atrito desprezível sobre uma pista de gelo, com velocidades de mesma magnitude, igual a $0,5m/s$. Ela tem $50kg$, carrega uma bola de $1kg$ e patina numa direção $10°$ a leste da direção norte. Ele tem $51kg$, dirige-se para $10°$ a oeste da direção norte. Antes de colidirem, ela lança a bola para ele, que a apanha. Em consequência, passam a afastar-se um do outro. Ela se move agora com velocidade de $0,51m/s$, numa direção $10°$ a oeste da direção norte. (a) Em que direção se move o patinador depois de apanhar a bola? (b) Com que velocidade? (c) Qual foi o momento transferido da patinadora para o patinador? (d) Com que velocidade e em que direção a bola foi lançada?
a) Adotando o referencial sobre com eixo $ox$ positivo na direção leste, e $oy$ positivo na direção norte,
Onde $\vec{v}_{im}$ e $m_m$ são a velocidade inicial e a massa da mulher, onde $\vec{v}_{iH}$ e $m_H$ são a velocidade inicial e a massa do homem, onde $m_b$ é a massa da bola, onde $\theta$ é o ângulo entre as velocidades dos corpos e a direção norte.
Decompondo os vetores $\vec{v}_{im}$ e $\vec{v}_{iH}$ na direção norte-sul e leste-oeste, obtemos
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{v}_{im}=v_{im}\sin\theta\hat{i}+v_{im}\cos\theta\hat{j}\\
\vec{v}_{iH}=v_{iH}\cos\theta\hat{j}-v_{iH}\sin\theta\hat{i}\\
\end{array}\right. $$
Dessa forma podemos determinar que o momento total inicial $\vec{P}_i$ será,
$$\vec{P}_i=(m_m+m_b)v_{im}\left( \sin\theta\hat{i}+\cos\theta\hat{j}\right) +m_Hv_{iH}\left(\cos\theta\hat{j}-\sin\theta\hat{i}\right)\ \ \ \ (1)$$
Em um segundo momento quando a bola é trocada entre os patinadores a situação é a seguinte,
Onde $\vec{v}_{fm}$ é a velocidade final da mulher, onde $\vec{v}_{fH}$ é a velocidade final do homem. Podemos decompor a velocidade final da mulher nas direções norte-sul e leste-oeste e obter,
$$\vec{v}_{fm}=v_{fm}\cos\theta\hat{j}-v_{fm}\sin\theta\hat{i}$$
Dessa forma, podemos representar o momento total final $\vec{P}_f$ da seguinte forma,
$$\vec{P}_f=m_mv_{fm}\left(\cos\theta\hat{j}-\sin\theta\hat{i}\right) +(m_H+m_b)\vec{v}_{fH}\ \ \ \ (2)$$
Supondo que o momento foi conservado no processo,
$$\vec{p}_i=\vec{P}_f\Rightarrow$$
$$(m_m+m_b)v_{im}\left( \sin\theta\hat{i}+\cos\theta\hat{j}\right) +m_Hv_{iH}\left(\cos\theta\hat{j}-\sin\theta\hat{i}\right)=m_mv_{fm}\left(\cos\theta\hat{j}-\sin\theta\hat{i}\right) +(m_H+m_b)\vec{v}_{fH}$$
Explicitando $\vec{v}_{fH}$ obtemos,
$$\vec{v}_{fH}=\left[ \frac{m_m+m_b}{m_H+m_b}v_{im}+\frac{m_Hv_{iH}-m_mv_{fm}}{m_H+m_b}\right]\cos\theta\hat{j}+\left[ \frac{m_m+m_b}{m_H+m_b}v_{im}-\frac{m_Hv_{iH}-m_mv_{fm}}{m_H+m_b}\right]\sin\theta\hat{i} $$
Substituindo os valores,
$$\vec{v}_{fH}=(0,085m/s)\hat{i}+(0,48m/s)\hat{j}$$
Podemos calcular o ângulo entre o vetor velocidade e o norte, que é representado pelo vetor unitário $\hat{j}$,
$$\cos\theta=\frac{\hat{j}\cdot(0,085\hat{i}+0,48\hat{j})}{\sqrt{(0,085m/s)^2+(0,48m/s)^2}}\Rightarrow$$
$$\theta=10°$$
Logo, o homem, ao pregar a bola, se move para leste, 10° norte.
b) A velocidade em modulo com que o homem começa a mover-se depois de apanhar a bola é,
$$v_{fH}=0,48m/s$$
c) podemos calcular o momento transferido entre os patinadores calculando a variação do momento da patinadora $\Delta\vec{P}_{m}$,
$$\Delta\vec{P}_{m}=\vec{P}_{fm}-\vec{P}_{im}\Rightarrow$$
$$\Delta\vec{P}_{m}=m_mv_{fm}\left(\cos\theta\hat{j}-\sin\theta\hat{i}\right)-(m_m+m_b)v_{im}\left( \sin\theta\hat{i}+\cos\theta\hat{j}\right)$$
$$\Delta\vec{P}_{m}=\left[ m_mv_{fm}+(m_m+m_b)v_{im}\right]\sin\theta\hat{i}+\left[ m_mv_{fm}-(m_m+m_b)v_{im}\right]\cos\theta\hat{j} $$
Substituindo os valores obtemos,
$$\Delta\vec{P}_{m}=-(8,85kg.m/s)\hat{i}$$
A mesma quantidade de momento que a patinadora perde é a quantidade de momento que o patinador ganha, logo,
$$\Delta\vec{P}_{H}=(8,85kg.m/s)\hat{i}$$
d) A variação do momento do homem na direção em que ele intersepta a bola, isto é, direção leste-oste é, na verdade e a quantidade de momento que a bola adquiriu, logo basta dividir $\Delta\vec{P}_{H}$ pela massa da bola e obter a velocidade,
$$\vec{v}_b=(8,85kg.m/s)\hat{i}$$
A bola foi lançada para leste.
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