8.6) No fundo de uma mina abandonada, o vilão, levando a mocinha como refém, é perseguido pelo mocinho. O vilão, de $70kg$, leva a mocinha, de $50kg$, dentro de um carrinho de minério de $540kg$, que corre com atrito desprezível sobre um trilho horizontal, à velocidade de $10m/s$. O mocinho, de $60kg$, vem logo atrás, num carrinho idêntico, à mesma velocidade. Para salvar a mocinha, o mocinho pula de um carrinho para o outro, com uma velocidade de $6m/s$ em relação ao carrinho que deixa para trás. Calcule a velocidade de cada um dos carrinhos depois que o mocinho já atingiu o carrinho da frente.
Adotando o referencial no solo podemos representar inicialmente o herói de massa $m_h$ dentro do carinho de massa $m_c$ viajando com velocidade inicial $v_ic$,
Teremos então que o momento total $P_i$ do sistema nesse instante é,
$$P_i=(m_c+m_h)v_{ic}\ \ \ (1)$$
Após o herói saltar do carinho ele adquire uma velocidade $v_h$ em relação ao carrinho, logo em relação ao solo, onde está o nosso referencial, o herói tem uma velocidade $v_h+v_{ic}$, como o carrinho perdeu momento ele está a uma velocidade $v_{fc1}$ (velocidade final do carrinho 1),
Sendo assim o momento final do sistema será,
$$P_f=m_cv_{fc1}+m_h(v_{h}+v_{ic})\ \ \ (2)$$
Supondo que o momento do sistema foi conservado,
$$P_i=P_f\Rightarrow$$
$$(m_c+m_h)v_{ic}=m_cv_{fc1}+m_h(v_{h}+v_{ic})\Rightarrow$$
Explicitando $v_{fc1}$ obtemos,
$$v_{fc1}=\frac{(m_c+m_h)}{m_c}v_{ic}-\frac{m_h}{m_c}(v_{h}+v_{ic})\ \ \ \ (3)$$
Por outro lado, adotando o sistema (o herói, vilão, mocinha e carrinho),
Inicialmente o vilão de massa $m_v$ junto com a mocinha de massa $m_m$ viajam no carrinho de massa $m_c$ a uma velocidade $v_{ic}$, enquanto o herói aproxima-se com velocidade $v_{h}+v_{ic}$, logo o momento inicial nessa nova situação será,
$$P_i=m_h(v_h+v_{ic})+(m_c+m_v+m_m)v_{ic}\ \ \ (4)$$
No final do movimento o herói o vilão e a mocinha estão no carrinho, com velocidade $v_{fc2}$ (velocidade final do carrinho 2),
Logo o momento final será,
$$P_f=(m_c+m_h+m_v+m_m)v_{fc2}\ \ \ (5)$$
Supondo que o sistema não perde momento teremos,
$$P_i=P_f\Rightarrow$$
$$m_h(v_h+v_{ic})+(m_c+m_v+m_m)v_{ic}=(m_c+m_h+m_v+m_m)v_{fc2}$$
Explicitando $v_{fc2}$ obtemos,
$$v_{fc2}=\frac{m_h(v_h+v_{ic})+(m_c+m_v+m_m)v_{ic}}{(m_c+m_h+m_v+m_m)}\ \ \ (6)$$
Obtemos como resultado (6) e (3),
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_{fc1}=\frac{(m_c+m_h)}{m_c}v_{ic}-\frac{m_h}{m_c}(v_{h}+v_{ic})\\
v_{fc2}=\frac{m_h(v_h+v_{ic})+(m_c+m_v+m_m)v_{ic}}{(m_c+m_h+m_v+m_m)}\\
\end{array}\right. $$
Substituindo os valores, obtemos
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_{fc1}=9,3m/s\\
v_{fc2}=10,5m/s\\
\end{array}\right. $$
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