8.3) Um canhão montado sobre uma carreta, apontado numa direção que forma um ângulo de $(30)°$ com a horizontal, atira uma bala de $50kg$, cuja velocidade na boca do canhão é de $300m/s$. A massa total do canhão e da carreta é de $5$ toneladas. (a) Calcule a velocidade inicial de recuo da carreta. (b) Se o coeficiente de atrito cinético é $0,7$, de que distância a carreta recua?
a) Podemos adotar o referencial no solo de forma que que ele permaneça em repouso em relação a carreta,
No primeiro momento o sistema está em repouso e o momento total é nulo, $\vec{P}_i=0$,
por outro lado, em um segundo momento a bala adquire uma velocidade $\vec{v}_b$ enquanto a carreta juntamente com o canhão recua com uma velocidade $-v_c\hat{i}$, podemos decompor o vetor velocidade da bala de forma a representar suas componentes vertical e horizontal segundo o referencial adotado,
$$\vec{v}_b=v_b\cos\theta\hat{i}+v_b\sin\theta\hat{j}$$
Como estamos interessados apenas na componente horizontal do momento teremos que o momento final $\vec{P}_f$ será dado por,
$$\vec{P}_f=m_bv_b\cos\theta\hat{i}-m_cv_c\hat{i}$$
Como o momento é conservado no processo teremos que,
$$\vec{P}_i=\vec{P}_f\Rightarrow$$
$$0=m_bv_b\cos\theta\hat{i}-m_cv_c\hat{i}\Rightarrow$$
$$0=m_bv_b\cos\theta-m_cv_c$$
Explicitando $v_c$ obtemos,
$$v_c=\frac{m_b}{m_c}v_b\cos\theta\ \ \ \ (1)$$
b) Usando o mesmo referencial podemos representar as forças que atuam sobre a carreta,
Podemos então representar usando a segunda lei de Newton as forças que atuam sobre a carreta,
$$\left\lbrace\begin{array}{ll}
\vec{N}+\vec{P}_c=0\\
\vec{F}_a=m_c\vec{a}\\
\end{array}\right. $$
Sendo assim a força de atrito é dada por,
$$N\mu_c=-m_ca\Rightarrow$$
$$P_c\mu_c=-m_ca\Rightarrow$$
$$m_cg\mu_c=-m_ca\Rightarrow$$
$$a=-g\mu_c\Rightarrow$$
Sabendo que a carreta vai de $v_c$ a zero, com essa aceleração podemos usar a seguinte equação para encontra a distância percorria $\Delta x$,
$$v_f^2=v_i^2+2a\Delta x\Rightarrow$$
$$0=v_c^2-2g\mu\Delta x\Rightarrow$$
$$v_c^2=2g\mu\Delta x\Rightarrow$$
$$2g\mu\Delta x=v_c^2\Rightarrow$$
$$\Delta x=\frac{v_c^2}{2g\mu}\ \ \ (2)$$
obtemos então o resultado (1) e (2),
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_c=\frac{m_b}{m_c}v_b\cos\theta\\
\Delta x=\frac{v_c^2}{2g\mu}\\
\end{array}\right. $$
Substituindo os valores do problema obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
v_c=2,6m/s\\
\Delta x=0,49m\\
\end{array}\right. $$
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