7,20) Num parque de diversões, um carrinho desce de uma altura $h$ para dar a volta no ?loop? de raio $R$ indicado na figura. (a) Desprezando o atrito do carrinho com o trilho, qual é o menor valor $h_1$ de $h$ para permitir ao carrinho dar a volta toda? (b) Se $R\eqslantless h\eqslantless h_1 $, o carrinho cai do trilho num ponto B, quando ainda falta percorrer mais um ângulo $\theta$ para chegar até o topo A (Fig). Calcule $\theta$. (c) Que acontece com o carrinho para $h<$?
a) Adotando o referencial no ponto mais alto do loop, podemos representar as forças que atuariam sobre o bloco nesse ponto,
Não a movimento em $y$ nesse instante, logo, a soma das forças tem uma resultante nula,
$$P-N-F_{cf}=0$$
Para que o bloco consiga completar o loop, com o mínimo de energia possível nesse instante $N=0$, logo,
$$P-F_{cf}=0\Rightarrow$$
$$mg=m\frac{v_f^2}{R}$$
Explicitando $v_f$ obtemos,
$$v_f=\sqrt{Rg}$$
Quando o bloco está no pé do loop, ele apresenta apenas energia cinética dada por $v_i$, dessa forma a energia inicial $E_i$ será dada por,
$$E_i=\frac{1}{2}mv_i^2\ \ \ (1)$$, por outro lado, ao subir o topo da rampa o bloco terá uma energia potencial gravitacional devido à altura $2R$ somado a energia cinética dada por $v_f$, sendo assim, sua energia final $E_f$ será,
$$E_f=\frac{1}{2}mRg+2mgR\ \ \ (2)$$
devido ao fato de não haver dissipação de energia no processo teremos que,
$$E_i=E_f\Rightarrow$$
$$\frac{1}{2}mv_i^2=\frac{1}{2}mRg+2mgR$$
Explicitando $v_i$ obtemos,
$$v_i=\sqrt{5Rg}$$
Como antes de adquirir tal velocidade o bloco estava no topo da rampa ele tinha apenas energia potencial, dada por $h$, no início do movimento, logo,
$$mgh=\frac{1}{2}m5Rg\Rightarrow$$
$$h=\frac{5}{2}R\ \ \ (3)$$
b) Adotando o referencial na posição em que o bloco vai parar obtemos a seguinte representação de forças agindo sobre o bloco,
Desse referencial obtemos pela segunda lei de Newton a equação que descreve o equilíbrio na direção $y$,
$$P_y+N-F_{cf}=0$$
Supondo que nesse momento o bloco perca o contato com a superfície do loop, obteremos a seguinte velocidade final,
$$P_y-F_{cf}=0\Rightarrow$$
$$mg\cos\theta=m\frac{v^2_f}{R}\Rightarrow$$
$$v_f=\sqrt{Rg\cos\theta}\ \ \ (4)$$
Usando geometria básica, podemos calcular a altura $h_q$ em função do raio e do ângulo $\theta$,
Olhando para o triângulo, encontramos $H_1$ usando a seguinte relação,
$$\cos\theta=\frac{H_1}{R}\Rightarrow$$
$$H_1=R\cos\theta$$
concluímos então que a altura é dada por, $h_q=R+H_1$ então,
$$h_q=R\left( 1+\cos\theta\right) \ \ \ (5)$$
ao final do movimento o bloco terá energia cinética dada por $v_f$ e energia potencial gravitacional dada por $h_q$,
$$E_f=\frac{1}{2}mv_f^2+mgh_q$$ o início do movimento teremos apenas energia potencial gravitacional dada por $h$ tal energia é convertida totalmente em cinética na base do loop, logo,
$$E_i=mgh=\frac{1}{2}mv_i^2$$
Como a energia do sistema é conservada em todos os momentos até o bloco sair do loop teremos que,
$$mgh=\frac{1}{2}mv_f^2+mgh_q$$
Substituindo as expressões para $h_q$ e $v_f$ em (5) e (4), respectivamente,
$$mgh=\frac{1}{2}mRg\cos\theta+mgR\left( 1+\cos\theta\right)$$
Explicitando $\cos\theta$ obtemos,
$$\cos\theta=\frac{2}{3}\left( \frac{h}{R}-1\right)$$
c) Supondo que a altura $h$ é menor que $R$ existe uma linha no nível potencial $r$ em que o bloco terá apenas energia potencial,
Das relações trigonométricas do triângulo encontramos $d=R\cos\alpha$,
A seguinte relação é valida,
$r=R-d=R\left(1+\cos\alpha \right)$
Como o bloco é suposto em repouso nesse ponto teremos inicialmente o potencial dado por $h$ e no segundo momento um potencial dado por $r$, usando conservação de energia obtemos,
$$mgh=mgR\left(1+\cos\alpha \right)$$
Explicitando $\alpha$ obtemos,
$$\alpha =\arccos\left( 1-\frac{h}{R}\right)$$
O bloco tende a oscilar entre o loop e queda de onde ele veio.
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