7.15) Um vagão de massa $m_1=4$toneladas está sobre um plano inclinado de inclinação $\theta=45°$, ligado a uma massa suspensa $m_2=500kg$ pelo sistema de cabo e polias ilustrado na Fig. Supõe-se que o cabo é
inextensível e que a massa do cabo e das pólias é desprezível em confronto com as demais. O coeficiente de atrito cinético entre o vagão e o plano inclinado é $\mu_c=0,5 $ (Na verdade $\mu_e$) e o sistema é solto do repouso. (a) Determine as relações entre os deslocamentos $s_1$ e $s_2$ e as velocidades $v_1$ e $v_2$ das massas $m_1$ e $m_2$, respectivamente. (b) Utilizando a conservação da energia, calcule de que distância o vagão se terá deslocado ao longo do plano inclinado quando sua velocidade
atingir $4,5km/h$.
a) Examinando mais atentamente a corda, concluímos que, devido ao fato dela ser inextensível o comprimento $C$ da corda é constante,
Logo os comprimentos demarcados na imagem podem ser usados para descrever o comprimento da corda,
$$2S_1+S_2=C$$
Como a corda é constante podemos representar uma variação da corda e obter o vínculo do sistema,
$$2\Delta S_1+\Delta S_2=0$$
Dividindo a expressão pela variação do tempo e tomando as quantidades infinitesimais obtemos
$$2v_1+v_2=0$$
Ou seja
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\Delta S_2=-2\Delta S_1\ \ \ (1)\\
v_2=-2v_1\ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\\
\end{array}\right. $$
b) Adotaremos o referencial sobre a pólia no topo da rampa com eixo $ox$ positivo orientado sobre a rampa,
Podemos então representar as forças que atuam sobre os blocos de massa $m_1$, e obter,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
N_1-P_1\cos\theta=0\ \ \ \ (3)\\
2T-P_1\sin\theta-F_a=m_1a_1\ \ \ \ (4)\\
\end{array}\right. $$
Para descobrir qual sera a distância $\Delta S_1$ que o carrinho de massa $m_1$ percorre podemos usar conservação de energia, a energia inicial do sistema deve ser igual à energia final, porém, como a energia do sistema não se conserva já que parte é liberado como trabalho devido à força de atrito, a energia inicial deve ser igual à final mais o trabalho realizado pelo sistema,
$$E_i=E_f+W\ \ \ (5)$$
Supondo que inicialmente o sistema esteja em repouso,
$$E_i=m_1gh_1+m_2gh_2\ \ \ (6)$$
Ao final do movimento a energia final será,
$$E_f=m_1gh'_1+m_2gh'_2+\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2\ \ \ (7)$$
Enquanto o trabalho é realizado pela força de atrito $-F_a$ que pode ser obtida pela equação (3),
$$W=\left( -P_1\right) \mu_e\cos\theta\left( -\Delta S_1\right)$$
$$W=P_1\mu_e\cos\theta\Delta S_1 \ \ \ \ (8)$$
Substituindo (7), (6) e (8) na equação (5) obtemos,
$$m_1gh_1+m_2gh_2=m_1gh'_1+m_2gh'_2+\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2-P_1\mu_e\cos\theta\Delta S_1$$
Olhando novamente para a última figura, mais especificamente para o triangulo de abertura $\theta$ formados pelos lados $S_1$ e $h_1$, encontramos a altura inicial do bloco de massa $m_1$, $h_1=-S_1\sin\theta$, enquanto a altura inicial do bloco de massa $m_2$ é $h_2=-S_2$ aplicando tais conclusões na última equação,
$$-m_1gS_1\sin\theta-m_2gS_2=m_1gh'_1+m_2gh'_2+\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2+P_1\mu_e\cos\theta\Delta S_1$$
Por outro lado, é natural esperar que as alturas finais $h'_1$ e $h'_2$ sejam dadas pelas variações $-\Delta S_1$ e $-\Delta S_2$ de $-S_1$ e $-S_2$, respectivamente, logo,
$$-m_1gS_1\sin\theta-m_2gS_2=m_1g\left( -\Delta S_1-S_1\right)\sin\theta +m_2g\left( -\Delta S_2-S_2 \right) +\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2+P_1\mu_e\cos\theta\Delta S_1$$
Reorganizando a equação obtemos,
$$0=-m_1g\Delta S_1\sin\theta -m_2g\Delta S_2+\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2+m_1g\mu_e\cos\theta\Delta S_1$$
Usando as equações (1) e (2) que descreve a relação entre as posições e velocidades entre $m_1$ e $m_2$,
$$0=-m_1g\Delta S_1\sin\theta +2m_2g\Delta S_1+\frac{1}{2}m_1v_1^2+2m_2v_1^2+m_1g\mu_e\cos\theta\Delta S_1$$
Explicitando $\Delta S_1$ obtemos,
$$\Delta S_1=\frac{\left(m_1+4m_2\right) v_1^2}{2\left( m_1g\sin\theta-m_1g\mu_e\cos\theta-2m_2g\right) }$$
Substituindo os valores do problema obtemos,
$$\Delta S_1=\frac{\left((4000kg)+4(500kg)\right) (1,25m/s)^2}{2\left( (4000kg)\sin(45°)-(4000kg)(0,5)\cos(45°)-2(500kg)\right)(9,8) }\Rightarrow$$
$$1,15m$$
Comentários