Moyses - Curso de Física Básica, Mecânica, Problema Resolvido 7.11

7.11) Mostre que o trabalho necessário para remover um objeto da atração gravitacional da Terra é o mesmo que seria necessário para elevá-lo ao topo de uma montanha de altura igual ao raio da Terra, caso a força gravitacional permanecesse constante e igual ao seu valor na superfície da Terra, durante a escalada da montanha. 

 Adotando o referencial na base de uma montanha, o trabalho $W_{m}$ que um alpinista que realiza uma escalada vertical de altura $R_T$ realiza pode ser expresso simplesmente pela variação da energia potencial do alpinista, $$W_m=-\Delta U =-m_agR_T\ \ \ \ (1)$$ Por outro lado, um objeto de mesma massa $m_a$ que deseja sair da atração gravitacional da terra, deve ter uma energia cinética inicial que está associada a uma velocidade de escape $v_e$, ao passar pelo ponto potencial da montanha $R_T$ o objeto terá energia potencial e cinética associada a $v$, usando conservação de energia obtemos, $$\frac{1}{2}m_av^2_e=m_agR_T+\frac{1}{2}m_av^2 $$ Explicitando a velocidade $v_e$ obtemos, $$v_e=\sqrt{v^2+2gR_T}\ \ \ \ (2)$$ Podemos expressar o trabalho $W_e$ que o objeto viajando rumo ao espaço profundo realiza do solo até a altura $R_T$, $$W_e=\frac{1}{2}m_av^2-\frac{1}{2}m_av^2_e$$ Aplicando a expressão (2) na equação obtemos, $$W_e=\frac{1}{2}m_av^2-\frac{1}{2}m_a\left( \sqrt{v^2+2gR_T}\right) ^2\Rightarrow$$ $$W_e=\frac{1}{2}m_av^2-\frac{1}{2}m_av^2-m_agR_T\Rightarrow$$ $$W_e=-m_agR_T$$ Como podemos ver $W_m=W_e$, logo o objeto e o alpinista de mesma massa $m_a$ realizam o mesmo trabalho quando supomos que o campo gravitacional não varia com a altura.