5.9) No sistema da figura (máquina de Atwood), mostre que a aceleração $a$ da massa $M$ e a tensão $T$ (desprezando as massas da corda e da pólia) são dadas por.
$$a=\frac{M-m}{M+m}g\ \ \ \ \ \ T=\frac{2mM}{M+m}g$$
Podemos adotar dois referenciais distintos, com orientação semelhante, localizados nos corpos de massa M e m da seguinte forma,
Supondo que a massa M esteja caindo e que m esteja subindo, podemos usar a segunda lei de Newton e encontrar um sistema que relacione os dois corpos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
\vec{T}-\vec{P}_m=m\vec{a}\\
\vec{T}-\vec{P}_M=-M\vec{a}\\
\end{array}\right. $$, ou seja,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
T-ma=mg\\
T+Ma=Mg\\
\end{array}\right. $$
Escalonando o sistema,
$$\left( \begin{array}{ccc}
1 &-m & mg\\
1 & M & Mg\\
\end{array}\right) =^1 \left( \begin{array}{ccc}
1 &-m & mg\\
0 & M+m & Mg-mg\\
\end{array}\right)=^2\left( \begin{array}{ccc}
1 &0 & mg+gm\frac{M-m}{M+m}\\
0 & 1 & g\frac{M-m}{M+m}\\
\end{array}\right)$$
1) multiplica-se a primeira linha por -1 e soma-se a segunda linha.
2) multiplica-se a segunda linha por $\frac{m}{M+m}$ e soma-se a primeira linha, em seguida multiplica-se a segunda linha por $\frac{1}{M+m}$.
Voltando com o sistema para a forma inicial obtemos,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
T=mg+mg\frac{M-m}{M+m}\\
a=\frac{M-m}{M+m}g\\
\end{array}\right. $$
Manipulando a tensão obtemos,
$$T=mg+mg\frac{M-m}{M+m}=mg\left( 1+\frac{M-m}{M+m}\right) =mg\left( \frac{M+m}{M+m}+\frac{M-m}{M+m}\right)\Rightarrow $$
$$T=mg\left(\frac{2M}{M+m}\right)=\left(\frac{2mM}{M+m}\right)g$$
Logo,
$$\left\lbrace \begin{array}{ll}
T=\left(\frac{2mM}{M+m}\right)g\\
a=\left( \frac{M-m}{M+m}\right) g\\
\end{array}\right. $$
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